Proposición 12

Enunciado

Sea $(X, T)$ un espacio topológico T1 y $A \subset X$ . Un punto $x \in X$ es un punto límite de $A$ si, y sólo si, todo entorno de $x$ contiene una cantidad infinita de puntos de $A$ .

Demostración

$(⟹)$ Supongamos, por reducción al absurdo, que $\exists U \in E (x)$ tal que $U \cap (A ∖ {x}) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ . Por ser $X$ un espacio $T_{1}$ , $\forall x_{i}$ del conjunto anterior $\exists U_{i} \in E (x)$ de modo que $x_{i} \notin U_{i}$ . Entonces, podemos definir $\tilde{U} = U \cap U_{1} \cap \dots \cap U_{n} \in E (x)$ ; no obstante,

\tilde{U} \cap (A ∖ {x}) \subset U \cap (A ∖ {x, x_{1}, \dots, x_{n}}) = \emptyset .

Se concluye que todo entorno $U \in E (x)$ , con $x$ punto límite, contiene una cantidad infinita de puntos de $A$ .

$(⟸)$ Suponemos que, dado $U \in E (x)$ , contiene una cantidad infinita de puntos de $A$ , lo que significa que $U \cap (A ∖ {x}) \neq \emptyset$ , es decir, $x$ es un punto de acumulación.